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Cette activité a été inspirée par un panneau de l'exposition "MATH 2000" à l'Université de LA ROCHELLE. Ce panneau était consacré au Théorème de PICK.
Pour plus de détails, voir les fiches de visite de l'exposition.
En 4e ou 3e, cette activité peut être réalisée en devoir à la maison ou en recherche en classe.
- établir une formule à partir d'expériences ;
- rechercher une solution expérimentale ;
- maîtriser une mise en équation adaptée à un problème ;
- rechercher la même solution par la résolution d'une équation ;
- vérifier si la solution est acceptable en testant la faisabilité de la construction puis conclure ;
- maîtriser la résolution des équations du type ax + b = c.
- connaître les aires de figures simples ;
- savoir résoudre des équations du type ax + b = c.
L'emploi d'un tableur est possible mais pas impératif.
Le fichier pick.xls doit être ouvert avec le logiciel EXCEL 97.
PREMIÈRE PARTIE
La découverte de la formule
1°) Description de l'expérience
Un panneau carré est muni d'un quadrillage à mailles carrée dont chaque point est matérialisé par un clou (ou un piquet...). Des élastiques permettent de fabriquer des polygones en prenant appuis sur les clous. Ainsi, certains clous touchent l'élastique, d'autres sont à l'intérieur du polygone (il peut ne pas y en avoir). Vous pouvez alors pour chaque polygone fabriqué :
- compter le nombre de clous sur l'élastique,
- le nombre de clous à l'intérieur du polygone
- déterminer l'aire du polygone en décomposant la figure en figures simples dont vous savez calculer l'aire.
Le but est de trouver une formule permettant d'exprimer l'aire du polygone en fonction du nombre de clous sur l'élastique et du nombre de clous à l'intérieur du polygone.
2°) Préparation de votre feuille
Vous allez remplacer les clous du panneau par les points de votre feuille et l'élastique par des traits de crayon ou de stylo. Il est conseillé de repasser en noir tous les points d'un carré d'environ 15 cm de côté. les polygones seront tracés en vert par exemple.
On notera p le nombre de point(s) sur l'élastique et i le nombre de point(s) intérieur(s) au polygone.3°) Découverte expérimentale de la formule
a) Une première formule
Tracer 3 polygones sans point intérieur dont le nombre de points sur l'élastique est 3 (p = 3). Déterminer leur aire et calculer p/2.
Si p = .... et i = .... alors, leur aire est égale à ...........et p/2 à .....
Faire de même pour un nombre de points sur l'élastique de 4 (p = 4).
Si p = .... et i = .... alors, leur aire est égale à ...........et p/2 à .....Recommencer en augmentant la valeur de p jusqu'à 6 et complétez le tableau suivant:
N° de la construction 1 2 3 4 p 3 4 5 6 aire en carreaux p/2 Que constatez-vous ? Pourriez-vous fabriquer une formule qui donne l'aire en fonction de p?
A =
b) La formule complète
Construire maintenant 6 polygones ayant tous le même nombre de points périphériques (p = 8) mais en faisant croître le nombre de points intérieurs de 0 à 5 (de i = 0 à i = 5). Vous déterminerez l'aire de chaque polygone et compléterez le tableau suivant:
N° de la construction 7 8 9 10 11
12
p
8
8
8
8
8
8
i
0
5
aire en carreaux
Vous constatez que lorsque i augmente de 1, l'aire augmente de ........
Devinez alors la formule finale en complétant celle trouvée en a).A =
c) L'aide de Monsieur PICK
Une partie de cette formule est malencontreusement dissimulée par des taches d'encre:
peut-être vous servira-t-elle quand même !
DEUXIÈME PARTIE
Une formule, des équationsCette deuxième partie est consacrée à la mise en équation de problèmes et à leur résolution.
1°) Trois constructions pour une équation
Tracer trois polygones différents d'aire 9 carreaux n'ayant aucun point à l'intérieur.
Compter alors les points du contour.
Expliquez pourquoi en utilisant l'équationvous pouviez prévoir ce résultat sans faire la construction.
2°) Un autre tracé
Trouvez maintenant d'abord par le tracé, puis par le calcul, le nombre de points situés sur le contour d'un polygone d'aire 7,5 carreaux possédant 5 points à l'intérieur.
Faites de même pour une aire de 4 carreaux. Discutez.3°) Encore une "bonne résolution"
Cherchez si l'on peut construire un polygone dont le nombre de points situés sur son contour est égale à son aire en carreaux sachant qu'il y a 4 points à l'intérieur ?
Si oui, tracer l'un d'eux, sinon discutez.4°) Tout aussi fort
Cherchez si l'on peut construire un polygone d'aire 8 carreaux dont le nombre de points situés sur son contour est égale au nombre de points situés à l'intérieur ?
Si oui, tracer l'un d'eux, sinon discutez.5°) Cherchez encore
Même question qu'au 4°) mais avec une aire de 6 carreaux.
6°) Encore plus fort
Cherchez si l'on peut construire un polygone dont l'aire en carreaux, le nombre de points situés sur son contour et le nombre de points situés à l'intérieur sont tous trois égaux ?
Si oui, tracer l'un d'eux, sinon discutez.
Ces problèmes de calcul d'aires et de volumes n'ont été résolus d'une façon générale qu'au XVIIIe siècle grâce au calcul intégral : calculer en faisant la somme d'une infinité de pièces infiniment petites. Il a fallu ainsi 15 siècles aux mathématiciens pour passer du découpage au calcul infinitésimal et franchir l'obstacle de l'infini.
Le mathématicien tchèque Georges Alexander Pick, né à Vienne en 1859, mort vers 1943 dans le camp de concentration de Theresienstadt a découvert en 1899, la formule qui porte son nom.Extrait tiré de "Des maths et vous" ; CNDP ; APMEP Poitou Charente 1999.
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